Question

已知函数f（x）=x²+alnx的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率为10．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）判断方程f（x）=2x根的个数，证明你的结论；
（Ⅲ）探究：是否存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

解法一：（Ⅰ）对函数f（x）求导，根据导数的几何意义可求f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率k，结合已知可求a
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-2x=x2-2x+8lnx，利用函数的导数，判断函数F（x）在（0，+∞）上的单调性，结合F（1）=-1＜0，F（2）=8ln2＞0，可证
（Ⅲ）由导数的几何意义可求曲线y=f（x）在点A处的切线方程（x＞0），构造函数h（x）=x2+8lnx-=x2+8lnx-（x＞0），对h（x）求导，通过讨论t的取值范围来判断h′（x）的符号，进而可判断h（x）在（0，+∞）上的单调性，即可判断
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；
（Ⅲ）由导数的几何意义可求曲线y=f（x）在点A处的切线方程（x＞0），构造函数h（x）=x2+8lnx-=x2+8lnx-（x＞0），对h（x）求导，若存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，二次函数的性质可求
解法一：（Ⅰ）因为f（x）=x2+alnx，所以，
函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率k=f'（1）=2+a．
由2+a=10得：a=8．              …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2+8lnx，令F（x）=f（x）-2x=x2-2x+8lnx．
因为F（1）=-1＜0，F（2）=8ln2＞0，所以F（x）=0在（0，+∞）至少有一个根．
又因为，所以F（x）在（0，+∞）上递增，
所以函数F（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，即方程f（x）=2x有且只有一
个实根．                 …（7分）
（Ⅲ）证明如下：
由f（x）=x2+8lnx，，可求得曲线y=f（x）在点A处的切
线方程为，
即（x＞0）．            …（8分）
记h（x）=x2+8lnx-=x2+8lnx-（x＞0），
则．      …（11分）
（1）当，即t=2时，对一切x∈（0．+∞）成立，
所以h（x）在（0，+∞）上递增．
又h（t）=0，所以当x∈（0，2）时h（x）＜0，当x∈（2，+∞）时h（x）＞0，
即存在点A（2，4+8ln2），使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线
在该点处切线的两侧．           …（12分）
（2）当，即t＞2时，时，h'（x）＞0；时，h'（x）＜0；x∈（t，+∞）时，h'（x）＞0．
故h（x）在上单调递减，在（t，+∞）上单调递增．
又h（t）=0，所以当时，h（x）＞0；当x∈（t，+∞）时，h（x）＞0，
即曲线在点A（t，f（t））附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的
同侧．                           …（13分）
（3）当，即0＜t＜2时，x∈（0，t）时，h'（x）＞0；时，h'（x）＜0；时，h'（x）＞0．
故h（x）在（0，t）上单调递增，在上单调递减．
又h（t）=0，所以当x∈（0，t）时，h（x）＜0；当时，h（x）＜0，
即曲线在点A（t，f（t））附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．
综上，存在唯一点A（2，4+8ln2）使得曲线在点A附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧．                    …（14分）
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；
（Ⅲ）证明如下：
由f（x）=x2+8lnx，，可求得曲线y=f（x）在点A处的切
线方程为，
即（x＞0）．           …（8分）
记h（x）=x2+8lnx-=x2+8lnx-（x＞0），
则．   …（11分）
若存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右两部分都
位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，
由二次函数的性质知，当且仅当，即t=2时，t不是极值点，即h'（x）≥0．
所以h（x）在（0，+∞）上递增．
又h（t）=0，所以当x∈（0，2）时，h（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，h（x）＞0，
即存在唯一点A（2，4+8ln2），使得曲线在点A附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧．                …（14分）