Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长和侧棱长都是2，D是侧棱CC₁上任意一点，E是A₁B₁的中点．
（I）求证：A₁B₁∥平面ABD；
（II）求证：AB⊥CE；
（III）求三棱锥C-ABE的体积．

Answer

（I）根据三棱柱的侧面ABB1A1是平行四边形，得A1B1∥AB，再结合线面平行的判定定理，可得A1B1∥平面ABD；
（II）取AB中点F，连接EF、CF．根据线面垂直的性质证出EF⊥AB，结合正△ABC中，中线CF⊥AB，所以AB⊥平面CEF，从而可得AB⊥CE；
（III）由三棱锥E-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1同底等高，得三棱锥E-ABC的体积等于正三棱柱ABC-A1B1C1体积的，求出正三棱柱ABC-A1B1C1体积，从而得出三棱锥E-ABC的体积，即得三棱锥C-ABE的体积．
【解析】
（I）∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1是平行四边形
∴A1B1∥AB
又∵A1B1⊈平面ABD，AB⊆平面ABD，
∴A1B1∥平面ABD；
（II）取AB中点F，连接EF、CF
∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴侧面AA1B1B是矩形
∵E、F分别是A1B1、AB的中点，∴EF∥AA1，
∵AA1⊥平面ABC，AB⊆平面ABC，∴AA1⊥AB，可得EF⊥AB，
∵正△ABC中，CF是中线，∴CF⊥AB
∵EF∩CF=F，∴AB⊥平面CEF
∵CE⊆平面CEF，∴AB⊥CE；
（III）∵正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都为2
∴三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=×22×2=2
又∵三棱锥E-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1同底等高
∴三棱锥E-ABC的体积VE-ABC=VABC-A1B1C1=
因此三棱锥C-ABE的体积VC-ABE=VE-ABC=．