Question

已知数列{a_n}的前n项为和S_n，点在直线上．数列{b_n}满足，且b₃=11，前9项和为153．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）设，问是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由已知条件得，根据前n项和与第n项的关系求出当n≥2时的通项公式，再由a1=Sl=6，求得数列{an}的通项公式．利用等差中项证明{bn}为等差数列，求出公差和第三项，从而求得{bn}的通项公式．
（Ⅱ）分m为奇数和m为偶数，分别利用条件f（m+15）=5f（m）求出m的值，可得结论．
【解析】
（Ⅰ）由题意，得，即．…（1分）
故当n≥2时，．…（3分）
当n=1时，a1=Sl=6，所以，an=n+5（n∈N*）．    …（4分）
又bn+1-2bn+1+bn=0，即bn+2-bn+l=bn+1-bn（n∈N*），所以{bn}为等差数列，…（5分）
于是．而b3=11，故．…（7分）
因此，bn=b3+3（n-3）=3n+2，即bn=3n+2（n∈N*）．    …（8分）
（Ⅱ）…（9分）
①当m为奇数时，m+15为偶数．
此时f（m+15）=3（m+15）+2=3m+47，5f（m）=5（m+5）=5m+25，
所以3m+47=5m+25，m=11．    …（1分）
②当m为偶数时，m+15为奇数，
此时f（m+15）=m+15+5=m+20，5f（m）=5（3m+2）=15m+10，
所以m+20=15m+10，m=（舍去）．    …（13分）
综上，存在唯一正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．    …（14分）