Question

设函数f（x）=-x³+ax²+a²x+1（x∈R），其中a∈R．
（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（III）当a=2时，是否存在函数y=f（x）图象上两点以及函数y=f′（x）图象上两点，使得以这四点为顶点的四边形ABCD同时满足如下三个条件：①四边形ABCD是平行四边形：②AB⊥x轴；③|AB|=4．若存在，指出四边形ABCD的个数；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=-x3+x2+x+1，得f（2）=-1，且f′（x）=-3x2+2x+1，f′（2）=-7．由此能求出曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程．
（Ⅱ）f（x）=-x3+ax2+a2x+1，f′（x）=-3x2+2ax+a2=-（3x+a）（x-a），令f（x）=0，解得．由于a＞0，故，列表讨论，能够求出函数f（x）的极大值和极小值．
（Ⅲ）若存在满足题意的四边形ABCD，则方程|f（x）-f′（x）|=4至少有两个相异实根，且每个实根对应一条垂直于x轴且与f （x）、f′（x）图象均相交的线段．这些线段长度均相等．由此进行分类讨论，能求出满足题意的平行四边形ABCD有6个．
【解析】
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=-x3+x2+x+1，得f（2）=-1，
且f′（x）=-3x2+2x+1，f′（2）=-7．
所以，曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是y+1=-7（x-2），
整理得7x+y-13=0．…（3分）
（Ⅱ）f（x）=-x3+ax2+a2x+1，
f′（x）=-3x2+2ax+a2=-（3x+a）（x-a）
令f（x）=0，解得．
由于a＞0，故…（4分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：

因此，函数处取得极小值；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=1+a3．…（8分）
（Ⅲ）若存在满足题意的四边形ABCD，
则方程|f（x）-f′（x）|=4至少有两个相异实根，
且每个实根对应一条垂直于x轴且与f （x）、f′（x）图象均相交的线段．
这些线段长度均相等．f（x）=-x3+2x2+4x+1，
f′（x）=-3x2+4x+4
=-（3x+2）（x-2）|f（x）-f′（x）|
=|-x3+2x2+4x+1-（-3x2+4x+4）|
=|x3-5x2+3|=4…1O分
①当x3-5x2+3=4时．x3-5x-1=0，
令g（x）=x3-5x2-1，g′（x）=3x2-10x
令g′（x）=0，得x=0或，
当x变化时，g′（x），g（x）的变化如下表：
由表格知，g（0）为g（x）的极大值，为g（x）的极大值，
而，
故g（x）的图象与x轴有且只有一个交点，g（x）有且只有一个零点．  …（11分）
②当x3-5x2+3=-4时，x3-5x2+7=0，
令g（x）=x3-5x2+7，g′（x）=3x2-10x，
由①知g（0）为g（x）的极大值，为g（x）的极大值而，
而，
故g（x）的图象与x轴有三个交点，g（x）有三个零点，…（12分）
由①②知，方程|x3-5x2+3|=4有四个不同的实根，
从小到大依次记为x1、x2、x3、x4，这四个根对应
的四条线段中的每两条对应一个平行四边形ABCD，
共有（x1、x2），（x1、x3）2、x3），（x2、x4），（x3、x4）6个，
所以满足题意的平行四边形ABCD有6个．…（14分）