Question

已知函数，判断下列三个命题的真假：
①f（x）＜1；
②x=0为f（x）的一个极大值点；
③当x∈（0，2π）时，f（x）没有极值点．其中真命题的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

Answer

对于①针对函数的性质，只须考虑当0＜x＜时的函数值即可，再利用单位圆中的三角函数线，通过面积关系证明sinx＜x；
对于②③，利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数，然后根据导函数的符号确定函数的单调性即可得到结论．
【解析】
①针对函数的性质，只须考虑当0＜x＜时的函数值即可，
如图，在单位圆中，有sinx=MA，
连接AN，则S△OAN＜S扇形OAN，
设的长为l，则x==1，
∴ON•MA＜ON•x，即MA＜x，
又sinx=MA，
∴sinx＜x，∴，故①正确；
②因为x为0时分母无意义，所以x=0不能为f（x）的一个极大值点，故②错误；
③由于函数的导数，
当x时，xcosx-sinx＜0，即f'（x）＜0，
当时，xcosx-sinx＞0，即f'（x）＞0，则函数在时取得极值，故③错误．
故答案选 B．