Question

过抛物线y²=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x=-2的距离之和等于5，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
D．不存在

Answer

先求出A，B到准线的距离之和的最小值，进而可得A，B到直线x=-2的距离之和的最小值，利用条件可得结论．
【解析】
抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，
设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），则A，B到直线x=-1的距离之和x1+x2+2
设直线方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，则y2=4（my+1），即y2-4my-4=0，
∴x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2
∴x1+x2+2=4m2+4≥4
∴A，B到直线x=-2的距离之和x1+x2+2+2≥6＞5
∴过焦点使得到直线x=-2的距离之和等于5的直线不存在
故选D．