Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过对角线BD₁的一个平面交AA₁于E，交CC₁于F，则面BFD₁E与底面A₁B₁C₁D₁所成的二面角的最小值为    ．

Answer

在平面AA1D1D中，过E作EH⊥D1D于H，过H作HG⊥D1F于G，连接EG．根据线面垂直的判定与性质，可证出∠EGH就是面BFD1E与底面A1B1C1D1所成的二面角的平面角．设正方体棱长为1，C1F=x，利用三角形相似算出，再结合Rt△EGH中正切的定义，可得当HG取最大值1时，面BFD1E与底面A1B1C1D1所成的二面角取到最小值．
【解析】
在平面AA1D1D中，过E作EH⊥D1D于H，过H作HG⊥D1F于G，连接EG
∵平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，平面AA1D1D∩平面CC1D1D=EH，EH⊥D1D
∴EH⊥平面CC1D1D，
∵D1F⊆平面CC1D1D，∴D1F⊥EH
∵HG⊥D1F，EH、HG是平面EHG内的相交直线
∴D1F⊥平面EHG
∵GE⊆平面EHG，
∴EG⊥D1F，可得∠EGH就是面BFD1E与底面A1B1C1D1所成的二面角的平面角
设正方体棱长为1，C1F=x，得AE=DH=x，D1H=1-x，（0≤x≤1）
∵Rt△D1GH∽Rt△FC1D1，
∴，得
而函数f（x）=在区间（0，1）上是减函数，可得当x=0时HG有最大值1，当x=1时HG有最小值0．
∵Rt△EGH中，tan∠EGH==
∴当HG取最大值1时，tan∠EGH有最小值1，
此时∠EGH也有最小值，即面BFD1E与底面A1B1C1D1所成的二面角的最小值为
故答案为：