Question

某单位为了解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总面积为30000m²的宿舍楼（每层的建筑面积相同），已知土地的征用费用为2250 元/m²，土地的征用面积为第一层的1.5倍，经工程技术人员核箅，第一层的建筑费用为400 元/m²，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30 元/m²．设这幢宿舍楼的楼高层数为n，总费用为y 万元（总费用为建筑费用和征地费用之和）．
（1）求总费用y（万元）与楼高层数n之间的函数关系；
（2）这幢宿舍楼的楼髙层数为多少层时，总费用最少，并求出最少费用．

Answer

（1）设楼高为n层，求出征地面积、征地费用、楼层建筑费用，从而可得总费用；
（2）利用基本不等式，即可求得最小总费用．
【解析】
（1）设楼高为n层，则征地面积为（m2），征地费用为（万元）
楼层建筑费用为[400n+]×（万元）
从而总费用为：y=[400n+]×+=15×（3n++77）
（2）由y=15×（3n++77）得y=15×（3n++77）≥=2505
当且仅当3n=，解得n=15（层）时，总费用y最小．
故当这幢宿舍的楼高层数为15层时，最小总费用为2505万元．