Question

已知函数f（x）=（x²+ax+b）e^x，（x∈R）在x=1处取得极值．
（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数m，使得对任意a∈（0，1）及x₁，x₂∈[0，2]总有|f（x₁）-f（x₂）|＜[（m+2）a+m²]e+e²恒成立，若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）我们知道函数f（x）在x=x处取得极值的必要条件是f′（x）=0，据此可以求出a与b的关系式，通过对a分类讨论判断f′（x）的正负即可得到
函数f（x）的单调区间．
（2）我们先求得对任意x1，x2∈[0，2]时|f（x1）-f（x2）|的最大值，就可以把“对任意a∈（0，1）及x1，x2∈[0，2]总有|f（x1）-f（x2）|＜[（m+2）a+m2]e+e2恒成立”问题转化为“对任意a∈（0，1）|f（x1）-f（x2）|max＜[（m+2）a+m2]e+e2恒成立”问题，进而再转化为关a一次函数的单调性问题就可以解决．
【解析】
（1）∵函数f（x）=（x2+ax+b）ex，∴f′（x）=[x2+（2+a）x+a+b]ex，
又∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，∴1+2+a+a+b=0，∴b=-2a-3．
∴f′（x）=[x2+（a+2）x-a-3]ex=（x-1）[x-（-a-3）]ex，
①当a=-4时，f′（x）=（x-1）2ex≥0，∴x=1不是函数的极值点，因此a≠-4；
②当a＞-4时，则-a-3＜1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜-a-3，由f′（x）＜0得-a-3＜x＜1，
∴函数f（x）在区间（-∞，-a-3），（1，+∞）上单调递增，在区间（-a-3，1）上单调递减．
③当a＜-4时，则-a-3＞1，由f′（x）＞0得x＜1或x＞-a-3，则-a-3＜1，由f′（x）＜0得1＜x＜-a-3，
∴函数f（x）在区间（-∞，1），（-a-3，+∞）上单调递增，在区间（1，-a-3）上单调递减．
（2）当a∈（0，1）时，由（1）可知：函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，在区间（1，2]上单调递增．
∴当x∈[0，2]时，函数f（x）在x=1处取得最小值，且f（x）min=f（1）=（-a-2）e，
又f（0）=-2a-3，f（2）=e2，∴f（2）＞f（0），∴函数f（x）在x=2处取得最大值．
∴当x1，x2∈[0，2]时，|f（x1）-f（x2）|max=f（x）max-f（x）min=f（2）-f（1）=e2+（a+2）e．
∴对任意a∈（0，1）及x1，x2∈[0，2]总有|f（x1）-f（x2）|＜[（m+2）a+m2]e+e2恒成立，
转化为对任意a∈（0，1）及x1，x2∈[0，2]有 e2恒成立，
即对任意a∈（0，1），[（m+2）a+m2]e+e2＞e2+（a+2）e恒成立，
即对任意a∈（0，1），（m+1）a+m2-2＞0恒成立，
令g（a）=（m+1）a+m2-2，则有，
解得，
所以满足条件的m的取值范围是：．