Question

已知a＞0，且a≠1，函数y=a^x-1与y=log_a（x+1）的图象分别恒过定点A，B，过点A的直线l₁与过点B的直线l₂垂直相交于点Q，则点Q的轨迹方程是    ．

Answer

由y=ax-1与y=loga（x+1）的图象分别恒过定点A，B，利用指数函数与对数函数的性质得出A和B的坐标，若过点A的直线l1的斜率为k（k存在且不为0），利用两直线垂直时斜率的乘积为-1表示出过点B的直线l2的斜率，进而表示出两直线方程，联立两方程，消去k，即可得到y与x的关系式；若过点A的直线l1的斜率不存在，求出此时Q的坐标为（1，0），代入y与x的关系式满足，综上得到点Q的轨迹方程．
【解析】
由函数y=ax-1与y=loga（x+1）的图象分别恒过定点A，B，
可得A（1，1），B（0，0），
若过点A的直线l1的斜率存在，设为k（k≠0），直线l2垂直的斜率为-，
可得直线l1的解析式为：y-1=k（x-1），直线l2解析式为：y=-x，
联立两解析式，解得：，
消去k得到x2-x+y2-y=0；
若过点A的直线l1的斜率不存在，此时Q（1，0），代入满足x2-x+y2-y=0，
综上，点Q的轨迹方程为x2-x+y2-y=0或（x-）2+（y-）2=．
故答案为：x2-x+y2-y=0或（x-）2+（y-）2=