Question

已知函数f（x）=e^x，曲线y=f（x）在点（x，y）处的切线方程为y=g（x）．
（Ⅰ）证明：对∀x∈R，f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥1+恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求出切线方程，构造函数h（x）=f（x）-g（x），求导函数，确定函数的单调性，即可证得结论；
（Ⅱ）分类讨论：当a≤1时，可得x≥0时，f（x）≥1+恒成立；（2）当a＞1时，令H（x）=（f（x）-1）（x+1）-ax=（ex-1）（x+1）-ax，可证明存在区间（0，x）使得H'（x）＜0，H（x）单调递减，使得H（x）＜H（0）=0，从而可得结论．
（Ⅰ）证明：由题意知----（2分）
令，则，----（3分）
当x＜x时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞x时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；----（5分）
故h（x）≥h（x）=0，即f（x）≥g（x）．----（6分）
（Ⅱ）【解析】
（1）当a≤1时，由（Ⅰ）知，当x=0得ex≥x+1．----（7分）
故．----（9分）
（2）当a＞1时，令H（x）=（f（x）-1）（x+1）-ax=（ex-1）（x+1）-ax，
则H'（x）=ex（2+x）-1-a，
令F（x）=H'（x）=ex（2+x）-1-a，则F'（x）=ex（3+x）＞0，
故H'（x）在[0，+∞）上单调递增，而H'（0）=1-a＜0，
故存在区间（0，x）使得H'（x）＜0，H（x）单调递减，使得H（x）＜H（0）=0．
与在[0，+∞）上恒成立矛盾．----（11分）
综上可得a≤1．----（12分）