Question

已知x=1是函数f（x）=（ax-2）e^x的一个极值点．（a∈R）
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当x₁，x₂∈[0，2]时，证明：f（x₁）-f（x₂）≤e．

Answer

（I）先求出函数f（x）的导函数，然后根据在极值点处的导数等于0，建立等式关系，求出a即可；
（II）确定函数f（x）在区间[0，2]上的最大值与最小值，从而f（x1）-f（x2）≤fmax（x）-fmin（x），由此可得到结论．
（Ⅰ）【解析】
已知f′（x）=（ax+a-2）ex，f'（1）=0，∴a=1．
当a=1时，f′（x）=（x-1）ex，在x=1处取得极小值．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，f（x）=（x-2）ex，f′（x）=（x-1）ex．
当x∈[0，1]时，f′（x）=（x-1）ex≤0，∴f（x）在区间[0，1]单调递减；
当x∈（1，2]时，f′（x）=（x-2）ex＞0，∴f（x）在区间（1，2]单调递增．
所以在区间[0，2]上，f（x）的最小值为f（1）=-e，又f（0）=-2，f（2）=0，
所以在区间[0，2]上，f（x）的最大值为f（2）=0．
对于x1，x2∈[0，2]，有f（x1）-f（x2）≤fmax（x）-fmin（x）．
所以f（x1）-f（x2）≤0-（-e）=e．