Question

（几何证明）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．若，则的值为    ．

Answer

连接OD，BC，设AC=3k，AB=5k，BC=4k，可证OD垂直平分BC，利用勾股定理可得到OG，得到DG，于是AE=4k，然后通过OD∥AE，利用相似比即可求出 的值．
【解析】
连接OD，BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又OD∥AE，∴∠OGB=∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，
∴G为BC的中点，即BG=CG，
又∵=，
∴设AC=3k，AB=5k，根据勾股定理得：BC==4k，
∴OB=AB=，BG=BC=2k，
∴OG==，
∴DG=OD-OG=-=k，
又四边形CEDG为矩形，
∴CE=DG=k，
∴AE=AC+CE=3k+k=4k，
而OD∥AE，
∴===．
故答案为：．