Question

（坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：psin²θ=2acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为，直线l与曲线C分别交于M、N．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则实数a的值为    ．

Answer

把参数方程化为普通方程，把极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组利用根与系数的关系求出x1+x2=4+2a，x1•x2=4．再根据由|PM|、|MN|、|PN|成等比数列可得
 2=|x1+2|•|x2+2|，由此求得实数a的值．
【解析】
曲线C：psin2θ=2acosθ（a＞0），即 ρ2sin2θ=2aρcosθ，即 y2=2ax． 直线l的参数方程，即 x-y-2=0．
设M（x1，x1-2），N（x2，x2-2），则由可得 x2-（4+2a）x+4=0，∴x1+x2=4+2a，x1•x2=4．
由|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，可得|MN|2=|PM||PN|．
∴2=•，化简可得  2=|x1+2|•|x2+2|．
即 -4x1•x2=|x1•x2+2（x1+x2）+4|，∴（4+2a）2-16=|4+2（4+2a）+4|，
解得 a=1，
故答案为 1．