Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明PA∥平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C-PB-D的大小．

Answer

法一：（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO要证明PA∥平面EDB，只需证明直线PA平行平面EDB内的直线EO；
（2）要证明PB⊥平面EFD，只需证明PB垂直平面EFD内的两条相交直线DE、EF，即可；
（3）必须说明∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，然后求二面角C-PB-D的大小．
法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．
（1）连接AC，AC交BD于G，连接EG，求出，即可证明PA∥平面EDB；
（2）证明EF⊥PB，，即可证明PB⊥平面EFD；
（3）求出，利用，求二面角C-PB-D的大小．
【解析】
方法一：
（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点
在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO
而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，
所以，PA∥平面EDB

（2）证明：
∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC．①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．
而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．②
由①和②推得DE⊥平面PBC．
而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．

（3）【解析】
由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角．
由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．
设正方形ABCD的边长为a，
则，．
在Rt△PDB中，．
在Rt△EFD中，，∴．
所以，二面角C-PB-D的大小为．
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．
（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG．
依题意得．
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且．
∴，这表明PA∥EG．
而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．

（2）证明；依题意得B（a，a，0），．
又，故．
∴PB⊥DE．
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．

（3）【解析】
设点F的坐标为（x，y，z），，则（x，y，z-a）=λ（a，a，-a）．
从而x=λa，y=λa，z=（1-λ）a．所以．
由条件EF⊥PB知，，即，解得
∴点F的坐标为，且，
∴
即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角．
∵，且，，
∴．
∴．
所以，二面角C-PB-D的大小为．