Question

如图，已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱A₁A垂直于底面ABCD．底面ABCD是边长为2的正方形，四边形A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，DD₁=2．
（I）求证：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁；
（II）求侧棱DD₁与底面ABCD所成的角；
（III）求四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．

Answer

（Ⅰ）证明平面A1ACC1⊥平面B1BDD1，只需证明线面垂直，即证BD⊥平面A1ACC1；
（Ⅱ）过D1作D1H⊥AD于H，则D1H∥A1A，可得∠D1DH为侧棱DD1与底面ABCD所成的角，进而在Rt△D1DH中可求；
（Ⅲ）在Rt△D1DH中，求得，而A1A=D1H，从而可求四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积．
（Ⅰ）证明：∵AA1⊥平面 ABCD，∴AA1⊥BD．
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵AA1与AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，
∴BD⊥平面A1ACC1
∵BD⊂平面B1BDD1，
∴平面A1ACC1⊥平面B1BDD1．    …（4分）
（Ⅱ）【解析】
过D1作D1H⊥AD于H，则D1H∥A1A．
∵AA1⊥平面 ABCD，∴D1H⊥平面ABCD．
∴∠D1DH为侧棱DD1与底面ABCD所成的角．
在Rt△D1DH中，DH=2-1=1，DD1=2，∴，∴∠D1DH=60°．    …（8分）
（Ⅲ） 【解析】
在Rt△D1DH中，求得，而A1A=D1H，
所以．    …（12分）