Question

在如图1所示的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且，E为CD中点．若沿AE将三角形DAE折起，使平面DAE⊥平面ABCE，连接DB，DC，得到如图2所示的几何体D-ABCE，在图2中解答以下问题：
（Ⅰ）设F为AB中点，求证：DF⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的正弦值．

Answer

（Ⅰ）取AE中点H，连接HF，连接EB，利用面面垂直，证明线面垂直，即DH⊥平面ABCE，进一步证明AC⊥平面DHF，从而可得线线垂直；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出面DCB的法向量，面DAB的法向量，利用向量的夹角公式，可得二面角A-BD-C的正弦值．
（Ⅰ）证明：取AE中点H，连接HF，连接EB
因为△DAE为等边三角形，所以DH⊥AE
因为平面DAE⊥平面ABCE，平面DAE∩平面ABCE=AE
所以DH⊥平面ABCE，
因为AC⊂平面ABCE
所以AC⊥DH…（2分）
因为ABCE为平行四边形，CE=BC=a
所以ABCE为菱形，所以AC⊥BE
因为H、F分别为AE、AB中点，所以HF∥BE
所以AC⊥HF…（4分）
因为HF⊂平面DHF，DH⊂平面DHF，且HF∩DH=H
所以AC⊥平面DHF，又DF⊂平面DHF
所以DF⊥AC…（6分）
（Ⅱ）【解析】
连接BH，EB
由题意得三角形ABE为等边三角形，所以BH⊥AE
由（Ⅰ）知DH⊥底面ABCE以H为原点，分别以HA，HB，HD所在直线为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，如图所示
则
所以，
设面DCB的法向量为，则
不妨设…（8分）
设面DAB的法向量，又
则，取…（10分）
所以
所以二面角A-BD-C的正弦值为…（12分）