Question

设S_n是数列{a_n}（n∈N^*）的前n项和，已知a₁=4，，设．
（Ⅰ）证明：数列{b_n}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由an+1=Sn+3n可得Sn+1-3n+1=2Sn+3n-3n+1=2（Sn-3n），从而得到bn+1=2bn，于是有：数列{bn}是等比数列，可求得b1=1，从而可求得数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：cn=2log2bn-+2=2n-，设M=1++++…++…①则M=++++…++…②，利用错位相减法即可求得数列{cn}的前n项和Tn．
证明：（Ⅰ）∵an+1=Sn+3n，
∴Sn+1-Sn=Sn+3n
即Sn+1=2Sn+3n，
∴Sn+1-3n+1=2Sn+3n-3n+1=2（Sn-3n）
∴bn+1=2bn…（4分）
又b1=S1-3=a1-3=1，
∴{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，
故数列{bn}的通项公式为bn=2n-1…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：cn=2log2bn-+2=2n-…（8分）
设M=1++++…++…①
则M=++++…++…②
①-②得：
M=1+++++…+-=2--，
∴M=4--=4-，
∴Tn=n（n+1）+-4…（12分）