Question

已知函数f（x）=x（1nx+1）（x＞0）．
（I）求函数f（x）的最小值；
（II）设F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（III）若斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，求证：．

Answer

（I）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最小值；
（II）确定函数的定义域，求导函数，对a讨论，利用导数的正负，考查函数的单调区间；
（III）确定y=f′（x）的定义域，求导函数，确定y=f′（x）在（0，+∞）上为增函数，从而可得结论．
（I）【解析】
求导函数可得：f′（x）=lnx+2（x＞0）
令f′（x）＞0可得x＞e-2；令f′（x）＜0可得0＜x＜e-2，
∴函数在（0，e-2）上单调减，在（e-2，+∞）上单调增
∴x=e-2时，函数f（x）取到最小值，最小值为-e-2；
（II）【解析】
设F（x）=ax2+f′（x）=ax2+lnx+2，则F′（x）=2ax+=（x＞0）
当a≥0时，∵x＞0，∴F′（x）＞0恒成立，∴函数F（x）单调增区间为（0，+∞）；
当a＜0时，∵x＞0，令F′（x）＞0，可得；令F′（x）＞0，可得
∴函数F（x）单调增区间为，单调减区间为；
（III）证明：y=f′（x）的定义域为（0，+∞）
∵f″（x）=＞0，∴y=f′（x）在（0，+∞）上为增函数
∴0＜f′（x2）＜k＜f′（x1）
∴
∴．