Question

已知a＜b，函数f（x）=sinx，g（x）=cosx．命题p：f（a）•f（b）＜0，命题q：函数g（x）在区间（a，b）内有最值．则命题p是命题q成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

由f（a）•f（b）＜0，及f（x）在R上连续可知函数f（x）在（a，b）上存在零点，然后结合正弦函数的零点是余弦函数的最值点可判断，若g（x）=cosx在（a，b）上有最值，f（x）=sinx在（a，b）上有零点，但由于函数f（x）=sinx在（a，b）不一定单调，f（a）f（b）＜0不一定成立
【解析】
∵f（a）•f（b）＜0，
又∵f（x）在R上连续
根据函数的零点判定定理可知，函数f（x）在（a，b）上存在零点
根据正弦函数、余弦函数的性质可知，正弦函数的零点是余弦函数的最值点
∴g（x）=cosx在（a，b）上有最值
∴p⇒q
若g（x）=cosx在（a，b）上有最值则根据余弦函数的零点是正弦函数的零点
则f（x）=sinx在（a，b）上有零点，但是由于函数f（x）=sinx在（a，b）不一定单调，f（a）f（b）＜0不一定成立
故命题p：f（a）•f（b）＜0，命题q：函数g（x）在区间（a，b）内有最值的充分不必要条件
故选A