Question

如图所示，Rt△ABC内接于圆，∠ABC=60°，PA是圆的切线，A为切点，PB交AC于E，交圆于D．若PA=AE，PD=，BD=，则AP=    ，AC=    ．

Answer

由PDB为圆O的割线，PA为圆的切线，由切割线定理，结合PD=，BD=3易得AP长；由∠ABC=60°结合弦切角定理易得△PAE为等边三角形，进而根据PE长求出AE长及ED，DB长，再根据相交弦定理可求出CE，进而得到答案．
【解析】
∵PD=，BD=3，
∴PB=PD+BD=4，
由切割线定理得PA2=PD•PB=12
∴AP=2，
又∵PE=PA
∴PE=2
又∠PAC=∠ABC=60°
∴AE=2
又由DE=PE-PD=
BE=BD-DE=2，
由相交弦定理可得：
AE•CE=BE•ED=2CE=6
即CE=
∴AC=AE+CE=3．
故答案：；．