Question

定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果∃ξ∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：
①f（x）=3x+2；   ②f（x）=x²-x+1；   ③f（x）=ln（x+1）；   ④
在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为    ．（写出所有满足条件的函数的序号）

Answer

根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．分别画出四个函数的图象，如图．由此定义再结合函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．
【解析】
根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．如图．
对于①，根据题意，在区间[0，1]上的任何一点都是“中值点”，故①正确；
对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故②不正确；
对于③，f（x）=ln（x+1）在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故③不正确；
对于④，根据对称性，函数在区间[0，1]存在两个“中值点”，故④正确．
故答案为：①④．