Question

某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．
（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值；
（Ⅱ）从成绩在[50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60，70）内的概率；
（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．

Answer

（I）根据频率分布直方图，结合频率之和为1，看出小矩形的高的值即得a的值．
（II）设“从成绩在[50，70）的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60，70）内”为事件A．先算出学生成绩在[50，60）内的和在[60，70）内的人数，根据成绩在[50，70）内的学生有11人，而且这些事件的可能性相同，根据概率公式计算，那么即可求得事件A的概率．
（III）根据题意看出变量X的可能取值，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式，写出变量的概率．列出分布列和期望值．
【解析】
（Ⅰ）根据频率分布直方图中的数据，可得，
所以 a=0.03．                                             …（2分）
（Ⅱ）学生成绩在[50，60）内的共有40×0.05=2人，在[60，70）内的共有40×0.225=9人，
成绩在[50，70）内的学生共有11人．                            …（4分）
设“从成绩在[50，70）的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60，70）内”为事件A，
…（5分）
则．                                         …（7分）
所以选取的3名学生成绩都在[60，70）内的概率为．
（Ⅲ）依题意，X的可能取值是1，2，3．                            …（8分）；        
；
．                                    …（10分）
所以X的分布列为

ξ 1 2 3
P

…（11分）
．                           …（13分）