Question

已知函数f（x）=x²+x，f'（x）为函数f（x）的导函数．
（Ⅰ）若数列{a_n}满足a_n+1=f'（a_n），且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=b，b_n+1=f（b_n）．
（ⅰ）是否存在实数b，使得数列{b_n}是等差数列？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由；
（ⅱ）若b＞0，求证：．

Answer

（Ⅰ）先对函数求导 f'（x）=2x+1，由an+1=f'（an），可得an+1=2an+1，从而可得 an+1+1=2（an+1），从而可证数列{an+1}是等比数列，结合等比数列的通项可求an+1，进而可求an
（Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数b满足题意，则必有2b2=b1+b3，且b1=b，，，代入可求b，代入检验即可求解
（ⅱ）由b1=b＞0，bn+1=f（bn），可得bn+1与bn的递推公式，利用裂项法可求和，进而可证明
【解析】
（Ⅰ）因为 f（x）=x2+x，所以 f'（x）=2x+1．
所以 an+1=2an+1，
所以 an+1+1=2（an+1），且a1+1=1+1=2，
所以数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以 ，即．                    …（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数b，使数列{bn}为等差数列，则必有2b2=b1+b3，
且b1=b，，．
所以 2（b2+b）=（b2+b）2+（b2+b）+b，
解得  b=0或b=-2．
当b=0时，b1=0，bn+1=f（bn）=0，所以数列{bn}为等差数列；
当b=-2时，b1=-2，b2=2，b3=6，b4=42，显然不是等差数列．
所以，当b=0时，数列{bn}为等差数列．                       …（9分）
（ⅱ）b1=b＞0，bn+1=f（bn），则；
所以 ；
所以 ．
因为 ，
所以 bn+1＞bn＞bn-1＞…＞b1=b＞0；
所以 ．
…（13分）