Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=2，BC=1，D为AC中点，若规定主视方向为垂直于平面ACC₁A₁的方向，则可求得三棱柱左视图的面积为．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求三棱锥A-A₁BD的体积．

Answer

（I）取A1B、AB1交点O，连接OD，用三角形中位线定理证出OD∥B1C，再用线面平行的判定定理，可以得到B1C∥平面A1BD．
（II）三棱柱左视图的面积为，而高等于2，可得三角形ABC中，B点到AC的距离为，结合平面几何知识，得到∠ABC=90°且，从而得到三棱锥A-A1BD的底面积和高，求得它的体积．
【解析】
（Ⅰ）如图，取A1B，AB1交点O，连接OD，
∵△AB1C中，OD是中位线，∴OD∥B1C
∵OD⊆平面A1BD，B1C⊈平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD…．（5分）
（II）∵主视图方向为垂直于平面ACC1A1的方向，
∴三棱柱左视图为一个矩形，
∵高为2，左视图面积为，
∴左视图宽为，即底面三角形高为，即在三角形ABC中，B点到AC的距离为，…．（8分）
根据射影定理可得∠ABC=90°，；
∴三棱锥A-A1BD以AA1=2为高，S△ABD=1，可得三棱锥A-A1BD的体积为…．（12分）