Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点B₁在底面ABC上的射影落在BC上，CA=CB=a，AB=．
（1）求证：AC⊥平面BCC₁B₁；
（2）当BB₁与底面ABC所成的角为60°，且AB₁⊥BC₁时，求点B₁到平面AC₁的距离．

Answer

（1）先证明AC⊥BC，利用点B1在底面ABC上的射影落在BC上，可得侧面BCC1B1⊥底面ABC，从而可得AC⊥平面BCC1B1；
（2）先证明B1BC是等边三角形，取BC的中点D，连接B1D，则B1D为三棱柱的高，利用等体积可求点B1到平面AC1的距离．
（1）证明：∵CA=CB=a，AB=，∴AB2=CA2+CB2，∴AC⊥BC
∵点B1在底面ABC上的射影落在BC上，
∴侧面BCC1B1⊥底面ABC，
∵侧面BCC1B1∩底面ABC=BC
∴AC⊥平面BCC1B1；
（2）【解析】
∵点B1在底面ABC上的射影落在BC上，

∴∠B1BC=60°
∵AC⊥平面BCC1B1
∴BC1⊥AC
∵AB1⊥BC1，AB1∩AC=A
∴BC1⊥平面AB1C
∴BC1⊥B1C
∵BCC1B1是平行四边形，∴BCC1B1是菱形
∴△B1BC是等边三角形
取BC的中点D，连接B1D，则B1D⊥BC
∵侧面BCC1B1⊥底面ABC，
∴B1D⊥底面ABC，
∴B1D为三棱柱的高，B1D=，S△ABC=
∴=
∴==
∵AC⊥平面BCC1B1
∴CC1⊥AC
∴四边形ACC1A1是边长为a的正方形
设点B1到平面AC1的距离为d，则有，∴d=
∴点B1到平面AC1的距离为．