Question

在△ABC中，已知2sinBcosA=sin（A+C）．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若BC=2，△ABC的面积是，求AB．

Answer

（Ⅰ）由三角形的内角和定理及诱导公式得到sin（A+C）=sinB，代入已知的等式，根据sinB不为0，可得出cosA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由A的度数求出cosA的值，再由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入求出AB•AC的值，记作①，利用余弦定理得到BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA，求出将cosA，BC及AB•AC的值代入，整理后求出AB2+AC2的值，再根据AB•AC的值，利用完全平方公式变形，开方求出AB+AC的值，记作②，联立①②即可求出AB的长．
（本小题满分13分）
【解析】
（Ⅰ）∵A+B+C=π，
∴sin（A+C）=sin（π-B）=sinB，…（3分）
∴2sinBcosA=sin（A+C）化为：2sinBcosA=sinB，…（4分）
∵B∈（0，π），∴sinB＞0，
∴cosA=，…（6分）
∵A∈（0，π），
∴A=；…（7分）
（Ⅱ）∵A=，∴cosA=，
又BC=2，S△ABC=AB•AC•sin=，即AB•AC=4①，
∴由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA=AB2+AC2-AB•AC，…（9分）
∴AB2+AC2=BC2+AB•AC=4+4=8，…（11分）
∴（AB+AC）2=AB2+AC2+2AB•AC=8+8=16，即AB+AC=4②，
联立①②解得：AB=AC=2，
则AB=2．…（13分）