Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；
（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；
（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．

Answer

（Ⅰ）先证明四边形MNCD是平行四边形，利用线面平行的判定，可证NC∥平面MFD；
（Ⅱ）连接ED，设ED∩FC=O．根据平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，可证NE⊥平面ECDF，从而可得FC⊥NE，进一步可证FC⊥平面NED，利用线面垂直的判定，可得ND⊥FC；
（Ⅲ）先表示出四面体NFEC的体积，再利用基本不等式，即可求得四面体NFEC的体积最大值．
（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，
所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．
所以四边形MNCD是平行四边形，…（2分）
所以NC∥MD，…（3分）
因为NC⊄平面MFD，所以NC∥平面MFD．        …（4分）
（Ⅱ）证明：连接ED，设ED∩FC=O．
因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，
所以NE⊥平面ECDF，…（5分）
因为FC⊂平面ECDF，
所以FC⊥NE．                              …（6分）
又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，所以 FC⊥ED．  …（7分）
所以FC⊥平面NED，…（8分）
因为ND⊂平面NED，
所以ND⊥FC．                                …（9分）
（Ⅲ）【解析】
设NE=x，则EC=4-x，其中0＜x＜4．
由（Ⅰ）得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为． …（11分）
所以．                      …（13分）
当且仅当x=4-x，即x=2时，四面体NFEC的体积最大． …（14分）