Question

如图，抛物线y=-x²+9与x轴交于两点A，B，点C，D在抛物线上（点C在第一象限），CD∥AB．记|CD|=2x，梯形ABCD面积为S．
（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式；
（Ⅱ）若，其中k为常数，且0＜k＜1，求S的最大值．

Answer

（Ⅰ）依题意，确定点C的纵坐标、点B的横坐标，从而利用梯形的面积公式，即可求得S关于x的函数式；
（Ⅱ）先确定函数关系式，再求导数，利用分类讨论的数学思想，确定函数的单调性，从而可求S的最大值．
【解析】
（Ⅰ）依题意，点C的横坐标为x，点C的纵坐标为．…（1分）
点B的横坐标xB满足方程，解得xB=3，舍去xB=-3． …（2分）
所以．…（4分）
由点C在第一象限，得0＜x＜3．
所以S关于x的函数式为 S=（x+3）（-x2+9），0＜x＜3．…（5分）
（Ⅱ）由 及0＜k＜1，得0＜x≤3k．  …（6分）
记f（x）=（x+3）（-x2+9），0＜x≤3k，
则f'（x）=-3x2-6x+9=-3（x-1）（x+3）．  …（8分）
令f'（x）=0，得x=1．      …（9分）
①若1＜3k，即时，f'（x）与f（x）的变化情况如下：

x （0，1） 1 （1，3k）
f'（x） + -
f（x） ↗ 极大值 ↘

所以，当x=1时，f（x）取得最大值，且最大值为f（1）=32．…（11分）
②若1≥3k，即时，f'（x）＞0恒成立，
所以，f（x）的最大值为f（3k）=27（1+k）（1-k2）．         …（13分）
综上，时，S的最大值为32；时，S的最大值为27（1+k）（1-k2）．