Question

对于数列A：a₁，a₂，a₃（a_i∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b₁，b₂，b₃，其中b_i=|a_i-a_i+1|（i=1，2），且b₃=|a₃-a₁|．这种“T变换”记作B=T（A）．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c₁，c₂，c₃，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
（Ⅰ）试问A：2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）设A：a₁，a₂，a₃，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各项之和为2012．
（ⅰ）求a，b；
（ⅱ）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）首先要弄清“T变换”的特点，其次要尝试着去算几次变换的结果，看一下有什么规律，显然只有当变换到数列的三项都相等时，再经过一次“T变换”才能得到数列的各项均为零，否则“T变换”不可能结束．（Ⅱ）中（i）的解答要通过已知条件得出a是B数列的最大项，从而去掉绝对值符号得到数列A是单调数列，得到答案．（ii）的解答要抓住B经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，且最大项减少12，从而数列和减少24，经过6×83+4=502次变换后使得各项的和最小，于是k的最小值为502．
（本小题满分13分）
（Ⅰ）【解析】
数列A：2，6，4不能结束，各数列依次为4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．
以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形．         …（3分）
（Ⅱ）【解析】
（ⅰ）因为B的各项之和为2012，且a≥b，所以a为B的最大项，
所以|a1-a3|最大，即a1≥a2≥a3，或a3≥a2≥a1．…（5分）
当a1≥a2≥a3时，可得
由a+b+2=2012，得2（a1-a3）=2012，即a=1006，故b=1004．…（7分）
当a3≥a2≥a1时，同理可得 a=1006，b=1004．…（8分）
（ⅱ）方法一：由B：b，2，b+2，则B经过6次“T变换”得到的数列分别为：b-2，b，2；2，b-2，b-4；b-4，2，b-6；b-6，b-8，2；2，b-10，b-8；b-12，2，b-10．
由此可见，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，但最大项减少12．
因为1006=12×83+10，
所以，数列B经过6×83=498次“T变换”后得到的数列为8，2，10．
接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：6，8，2；2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2，…
从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．
所以经过498+4=502次“T变换”得到的数列各项和最小，k的最小值为502．…（13分）
方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B“结构相同”．
若数列B的三项为x+2，x，2（x≥2），则无论其顺序如何，经过“T变换”得到的数列的三项为x，x-2，2（不考虑顺序）．
所以与B结构相同的数列经过“T变换”得到的数列也与B结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．
因此，数列B：1004，2，1006经过502次“T变换”一定得到各项为2，0，2（不考虑顺序）的数列．
通过列举，不难发现各项为0，2，2的数列，无论顺序如何，经过“T变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．
所以，至少通过502次“T变换”，得到的数列各项和最小，故k的最小值为502．…（13分）