Question

已知函数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若2xlnx≤2mx²-1在[1，e]恒成立，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导函数，对参数a进行讨论，即可确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）先分离参数，构造函数，确定函数的最大值，即可求得m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）求导函数，可得
当a＜0时，x∈（0，-a），f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（-a，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．
当a≥0时，x∈（0，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．        …（4分）
（Ⅱ）2xlnx≤2mx2-1，得到
令函数，求导数，可得
a=-1时，，x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（x）≥f（1）=1，即，∴≤0
∴g（x）在x∈（0，+∞），g'（x）≤0，g（x）单调递减，
∴函数在[1，e]上的最大值为
∴在[1，e]上，若恒成立，则．…（12分）