Question

已知椭圆的右顶点为A，右焦点为F，直线与x轴交于点B且与直线交于点C，点O为坐标原点，，，过点F的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，点P为点M直线的对称点
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：N、B、P三点共线；
（3）求△BMN的面积．的最大值．

Answer

（1）根据，，可得且，从而可求椭圆方程；
（2）设直线l：y=k（x-1），与椭圆方程联立，利用韦达定理，同时确定的坐标，证明共线，即可证得结论；
（3）求出d为B到l的距离，弦长，即可表示出面积，从而可求△BMN的面积的最大值．
（1）【解析】
因为，，所以且，所以a=2，c=1
所以，所以椭圆方程为：…（4分）
（2）证明：设直线l：y=k（x-1），M（x1，y1），N（x2，y2）
则由，消去y得（3+4k2）x-8k2x+4k2-12=0，
所以…（6分）
由于P（8-x1，y1），，
因为（4-x1）y2-（x2-4）y1=4（y1+y2）-x1y2-y1x2=4k（x1+x2-2）-2kx1x2+k（x1+x2）=…（8分）
当l⊥x轴时，也满足
故共线，所以N、B、P三点共线…（9分）
（3）【解析】
记d为B到l的距离，则，，…（10分）
所以=…（12分）
当l⊥x轴时，，…（13分）
所以△BMN的面积的最大值为…（14分）