Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（-）=，cos（α-β）=（0＜β＜α＜），求β．

Answer

（1）根据函数的最大值，得A=2，再由周期公式得ω=2．最后根据当时f（x）取最大值2，列式并解之得，从而得出f（x）的解析式；
（2）由f（-）=结合函数表达式，得sinα的值，根据同角三角函数的关系得出cosα的值．再根据0＜β＜α＜和cos（α-β）=算出sin（α-β）=，最后利用配角：β=α-（α-β）算出cosβ的值，从而得出β的值．
【解析】
（1）由图可得函数的最大值为2，故A=2，
又∵，
∴T=π，得ω==2，
此时f（x）=2sin（2x+φ），（4分）
∵当时，f（x）取最大值2，
∴，得+φ=+2kπ，k∈Z
因为，所以取k=0，得．
∴f（x）的解析式为．（6分）
（2）由（I）得，∴，
∵，∴，（8分）
由，得，
又∵，
∴．（10分）
因此，cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=，
∴结合β为锐角，得．（12分）