Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面AD₁⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，AA₁=2，A₁D=，E、F分别是BC、AC₁的中点．
（I）求证：EF∥平面AA₁B₁B；
（II）求二面角C-A₁C₁-D的大小．

Answer

（Ⅰ）利用三角形中位线性质，证明线线平行，可得面面平行，从而可得线面平行；
（Ⅱ）证明DA1、DA、DC两两垂直，建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面A1C1D的一个法向量，平面ACC1A1的法向量为=（x，y，z），利用向量的夹角公式，即可求二面角C-A1C1-D的大小．
（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于O，则O是AC的中点，
∴OF∥CC1，CC1∥BB1，∴OF∥BB1，又OE∥AB，
∴平面OEF∥平面AA1B1B，又EF⊂平面OEF，
∴EF∥平面AA1B1B．（4分）
（Ⅱ）【解析】
∵AD=1，AA1=2，，∴△AA1D是直角三角形，且A1D⊥AD，
∵侧面AD1⊥平面ABCD，∴A1D⊥平面ABCD，可知DA1、DA、DC两两垂直．（6分）
分别以DA1、DA、DC为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则
D（0，0，0），A（1，0，0），，C（0，1，0），，B（1，1，0），
∴，，，，，（8分）
由，可得平面A1C1D的一个法向量，
设平面ACC1A1的法向量为=（x，y，z），
由，取，（10分）
则，
∴二面角C-A1C1-D的大小为．（12分）