Question

已知椭圆C：的离心率为，且经过点M（-2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，连接MA，MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设y_P，y_Q分别为点P，Q的纵坐标，且．求证：直线l过定点．

Answer

（Ⅰ）利用椭圆C：的离心率为，且经过点M（-2，0），可求椭圆的几何量，从而可求
椭圆方程；
（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，利用 ，及韦达定理，可得y=kx-k，故直线l过定点．
（Ⅰ）【解析】
∵椭圆C：的离心率为，且经过点M（-2，0）．
∴a=2，，∴．                        …（2分）
∵a2=b2+c2，∴．                            …（3分）
椭圆方程为．                                      …（5分）
（Ⅱ）证明：消y得  （2k2+1）x2+4kmx+2m2-4=0，△＞0．             …（6分）
因为A（x1，y1），B（x2，y2），所以，．          …（7分）
设直线MA：，则；同理…（9分）
因为 ，所以 ，即．     …（10分）
所以 （x1-4）y2+（x2-4）y1=0，
所以 （x1-4）（kx2+m）+（x2-4）（kx1+m）=0，2kx1x2+m（x1+x2）-4k（x1+x2）-8m=0，所以，
所以 ，得 m=-k．                           …（13分）
则y=kx-k，故l过定点（1，0）．                              …（14分）