Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1．
（Ⅰ）证明：EA⊥PB；
（Ⅱ）证明：BG∥面AFC．

Answer

（Ⅰ）先利用直线与平面的判定定理证明EA⊥面PAB，然后利用直线与平面垂直的性质可得结论；
（Ⅱ）取PF中点M，连接MG，可证MG∥面AFC，连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，可证BM∥面AFC，根据面面平行的判定定理可得面BGM∥面AFC，最后根据面面平行的性质可证BG∥面AFC．
（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ACD为等边三角形，
又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．…（2分）
又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．  …（3分）
而AB∩PA=A
所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．   …（5分）
（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．…（6分）
连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．…（8分）
连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，
所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．（10分）
而BM∩MG=M
所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．…（12分）