Question

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1，2，…，8，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，现从某厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图：
（I）该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品，等级系数5≤ξ＜7的为二等品，等级系数3≤ξ＜5的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（II）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数ξ的关系式为：y=，从该厂生产的商品中任取一件，其利润记为X，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer

（I）根据题意，由样本数据可得30件产品中一等品、二等品、三等品的数目，计算可得三个等级各自的其频率，由频率的意义可得答案；
（II）X的可能取值为3，5，8，求出相应的概率，即可求得分布列与数学期望．
【解析】
（I）根据题意，由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．
∴样本中一等品的频率为=0.2，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2，
二等品的频率为=0.3，故估计该厂产品的二等品率为0.3，
三等品的频率为=0.5，故估计该厂产品的三等品率为0.5；
（II）X的可能取值为3，5，8，则P（X=3）=0.5，P（X=5）=0.3，P（X=8）=0.2
X的分布列如下
 X  3  5  8
 P  0.5 0.3  0.2 

数学期望EX=3×0.5+5×0.3+8×0.2=5.4（元）