设数列{an}是公比大小于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=...

设数列{a_n}是公比大小于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）设c_n=log₂a_n+1，数列{c_nc_n+2}的前n项和为T_n，是否存在正整数m，使得T_n＜ manfen5.com 满分网

对于n∈N^*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．

（I）设数列{an}的公比为q（q＞1），利用S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，建立方程组，求得首项与公比，即可得到数列{an}的通项公式a；（II）先求通项，再利用裂项法求和，进而解不等式，即可求得正整数m的最小值．【解析】（I）设数列{an}的公比为q（q＞1），则∵S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列， ∴ ∴ 解得 ∴等比数列{an}的通项公式an=2n-1；（II）=log2an+1=n，∴，∴ ∴Tn== ∴Tn＜对于n∈N*恒成立，只需m（m+1）≥ ∴m≤-或m≥ ∴正整数m的最小值为1．

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考点分析：

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如图，D、E分别是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AA₁、BB₁的中点，且棱AA₁=8，AB=4．
（Ⅰ）求证：A₁E∥平面BDC₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点M，使二面角M-BC₁-B₁的大小为60°，若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．

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某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1，2，…，8，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，现从某厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图：
（I）该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品，等级系数5≤ξ＜7的为二等品，等级系数3≤ξ＜5的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（II）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数ξ的关系式为：y= manfen5.com 满分网