Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+2n=2a_n．
（I）证明：数列{a_n+2}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），求证：．

Answer

（I）由Sn+2n=2an得Sn=2an-2n，再写一式，两式相减，即可证数列{an+2}是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列，从而可求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）由bn=log2（an+2）=log22n+1=n+1，则==，由此可证结论．
证明：（I）由Sn+2n=2an得 Sn=2an-2n
当n∈N*时，Sn=2an-2n，①
当n=1 时，S1=2a1-2，则a1=2，
则当n≥2，n∈N*时，Sn-1=2an-1-2（n-1）．②
①-②，得an=2an-2an-1-2，即an=2an-1+2，∴an+2=2（an-1+2）
∴数列{an+2}是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴an+2=4•2n-1，
∴an=2n+1-2．
（Ⅱ）由bn=log2（an+2）=log22n+1=n+1，
∴==
∴．