Question

如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，DE=3，M为CE的中点．
（I）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求直线DB与平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值．

Answer

（I）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（II），以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求出=（1，1，）为平面BEC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得直线DB与平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）确定为平面DEC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值．
（I）证明：取DE中点N，连接MN，AN
在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=CD．
由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN
又因为AN⊂平面ADEF，且BM⊄平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．
（II）【解析】
在矩形ADEF中，ED⊥AD，
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．
又AD⊥CD，以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），E（0，0，3），
设=（x，y，z）为平面BEC的一个法向量，因为=（-1，1，0），=（0，-2，3）
∴，令x=1，得y=1，z=
所以=（1，1，）为平面BEC的一个法向量
∵
∴cos=||=
∴直线DB与平面BEC所成角的正弦值为；
（Ⅲ）∵矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，
∴DA⊥平面DEC
∴为平面DEC的一个法向量
∴平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值为||=．