Question

设椭圆C：的一个顶点与抛物线：的焦点重合，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求的值．

Answer

（I）根据抛物线方程得它的焦点坐标为（0，），即为椭圆的上顶点，得到b=，结合椭圆的离心率为，可解出a、c的值，即可得到椭圆C的方程；
（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l方程：y=k（x-1），与椭圆消去y得关于x的方程，由根与系数关系得：x1+x2=，x1x2=，代入=x1x2+y1y2的式子并进行化简，可得当k=时，，从而得到符合题意的直线l方程；
（III）设M（x1，y1），N（x2，y2），利用（II）的方程并结合两点距离公式进行化简，可得|MN|=，再设A（x3，y3），B（x4，y4），同样的方程可得|AB|=2，由此代入化简，即可得到要求的值．
【解析】
（I）抛物线的焦点坐标为（0，），可得椭圆的上顶点为（0，），得b=
∵椭圆的离心率，得=，解得a=，c=1
∴椭圆C的方程是
（II）由（I）得椭圆C的右焦点为F2（1，0）
①当直线l与x轴垂直时，直线l斜率不存在，此时M（1，），N（1，-）
∴=1×1+×（-）=-，不符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线方程l：y=k（x-1），且M（x1，y1），N（x2，y2）
由，得（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0
x1+x2=，x1•x2=
∴=x1•x2+y1•y2=x1•x2+k2[x1•x2-（x1+x2）+1]=（1+k2）x1•x2-k2（x1+x2）+k2=-1
即（1+k2）•-k2•+k2=-1
解之得k=，故直线l的方程是y=（x-1）或y=-（x-1）．
（III）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）
由（II）得|MN|==|x1-x2|
===
由消去y，整理得
∴|AB|==|x3-x4|=2
∴==6．