Question

已知函数f（x）=x³+mx²+nx+m-1，当x=-1时取得极值，且函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）O是坐标原点，A点是x轴上横坐标为2的点，B点是曲线上但不在x轴上的动点，求△AOB面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）求导函数，利用函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为4，建立方程组，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）求导数，确定函数的单调性，要使△OAB的面积最大，由O、A两点在x轴上且|OA|=2知，只需在上，|f（xB）|的值最大，由此可求△AOB面积的最大值．
【解析】
（Ⅰ）由已知得f′（x）=3x2+2mx+n…（1分）
由已知得，∴．
故f（x）=x3+x2-x…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x2+2x-1=（x+1）（3x-1）
∴f（x）在上为减函数，在上为增函数            …（7分）
要使△OAB的面积最大，由O、A两点在x轴上且|OA|=2知，只需在上，|f（xB）|的值最大，
由f（x）在区间上的单调性知，只有当或时，|f（xB）|的值最大…（9分）
而…（10分）
故当时，△OAB的面积最大，且最大值为…（12分）