Question

对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：
①若f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
②若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数；
③若对x∈R，有f（x-1）=-f（x），则2是f（x）的一个周期；
④函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．
其中正确的命题是    ．（写出所有正确命题的序号）

Answer

本题考查的知识点是，判断命题真假，着重考查了函数的对称性与周期性，及图象平移的一些知识．
（1）（2）：f（x-1）的图象可以由f（x）的图象向右平移1个单位得到；
（3）：周期函数是对一切X都有f（x+T）=f（x）；
（4）：f（1-x）=f（-（x-1））且f（x-1）的图象可以由f（x）的图象向右平移1个单位得到．
【解析】
①若f（x）是奇函数，则其对称中心是（0，0）
由于f（x-1）的图象可以由f（x）的图象向右平移1个单位得到，
则f（x-1）关于（1，0）对称．故①是正确的．
②由于f（x）的图象可以由f（x-1）的图象向左平移1个单位得到，
又由于函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则函数f（x）的图象关于直线x=0对称，
即f（x）为偶函数．故②也正确．
③由于若对x∈R，有f（x-1）=-f（x），则f（x-2）=-f（x-1）=-（-f（x））=f（x），
所以2是f（x）的一个周期．故③也正确．
④由于f（x）=f（-x）时f（x）为偶函数，其对称轴是y轴即x=0，
而f（1-x）=f（-（x-1））且f（x-1）的图象可以由f（x）的图象向右平移1个单位得到，
所以f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．故④也正确．
故正确的是①②③④．