Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+2n=2a_n．
（I）证明：数列{a_n+2}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），求数列{}的前n项和T_n．

Answer

（I）由Sn+2n=2an，得Sn=2an-2n，由此利用构造法能够证明数列{an+2}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式an．
（Ⅱ）由，得，由此利用错位相减法能够求出数列{}的前n项和Tn．
（I）证明：由Sn+2n=2an，得Sn=2an-2n，
当n∈N*时，Sn=2an-2n，①
当n=1时，S1=2a1-2，则a1=2，
当n≥2时，Sn-1=2an-1-2（n-1），②
①-②，得an=2an-2an-1-2，
即an=2an-1+2，
∴an+2=2（an-1+2），
∴，
∴{an+2}是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴，
∴．
（Ⅱ）【解析】
∵，
∴bn=n（n+1），
∴，
∴
=1-+-+…+
=1-
=．