Question

设椭圆C₁：的一个顶点与抛物线C₂：的焦点重合，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（I）根据抛物线的焦点确定椭圆的顶点，结合离心率，即可求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交．分两种情况讨论：①当直线斜率不存在时，经检验不合题意；②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量条件，即可求得直线l的方程．
【解析】
（I）抛物线C：的焦点为（0，）
∵椭圆C1：的一个顶点与抛物线C2：的焦点重合
∴椭圆的一个顶点为（0，），即b=
∵e===，∴a=，
∴椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交．
①当直线斜率不存在时，M（1，），N（1，-），∴，不合题意．
②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）．
将直线方程代入椭圆方程可得：（2+3k2）x2-6k2x+4k2-6=0，
∴x1+x2=，x1•x2=，
∴=x1x2+y1y2=x1x2+k2[x1x2-（x1+x2）+1]=+k2（-+1）==-1
∴k=±，
故直线l的方程为y=（x-1）或y=-（x-1）．