Question

已知a＞0，函数．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，1]的极值；
（Ⅲ）若在区间上至少存在一个实数x，使f（x）＞g（x）成立，求正实数a的取值范围．

Answer

（I）求出函数在x=1处的导数即切线的斜率，利用直线方程的点斜式求出切线的方程．
（II）求出导函数，令导函数为求出两个根，两个的大小引起讨论；判断导函数在根左右两边的符号，判断出函数的单调性，利用极值的定义求出函数的极值．
（III）构造新函数，求出新函数的导数，通过导函数的符号判断函数的单调性，求出函数的最大值，将问题转化为最大值大于0，求出a的范围．
【解析】
∵f′（x）=a2x2-2ax
（I）当a=1时，f′（1）=-1，f（1）=0
所以f（x）在点（1，f（1））的切线方程为y=-x+1
（II）令f′（x）=0得
（1）当，
x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增

所以当x=0时，有极大值；当有极小值
（2）当，f（x）在（-1，0）上递增，在（0，1）递减
所以f（x）极大值为f（0）=，无极小值
（III）设F（x）=f（x）-g（x）=，
F′（x）=a2x2-2ax+a=a2x2+a（1-2x）
∵
∴F′（x）=a2x2+a（1-2x）＞0
∴
则
依题意，只需F（x）max＞0
即
解得
所以实数a的取值范围是（