Question

已知函数f（x）=（x²-x+）e^ax（a＞0）
（1）求曲线f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）是否存在实数a∈（1，2），使f（x）＞当x∈（0，1）时恒成立？若存在，求出实数a；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在A点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（3）先将原来的恒成立问题转化为研究f（x）在区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值．
解（1）∵a＞0，f（x）=（x2-x+）eax，
∴f′（x）=（2x-）eax+（x2-x+）•a•eax=（2x-+ax2-2x+1）eax=（ax2+）eax，（2分）
于是f（0）=，f′（0）=，所以曲线y=f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为y-=（x-0），
即（a-2）x-ay+1=0．（4分）
（2）∵a＞0，eax＞0，∴只需讨论ax2+的符号．（5分）
ⅰ）当a＞2时，ax2+＞0，这时f′（x）＞0，所以函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．
ⅱ）当a=2时，f′（x）=2x2e2x≥0，函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．（6分）
ⅲ）当0＜a＜2时，令f′（x）=0，解得x1=-，x2=．
当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在（-∞，-），（，+∞）为增函数，f（x）在（-，）为减函数．（9分）
（3）当a∈（1，2）时，∈（0，1）．由（2）知f（x）在（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数，故当x∈（0，1）时，f（x）min=f（）=（1-），所以f（x）＞当x∈（0，1）时恒成立，等价于（1-）＞1恒成立．当a∈（1，2）时，∈（0，1），设g（t）=（1-t）et，t∈（0，1），则g′（t）=et-et-tet＜0，表明g（t）在（0，1）上单调递减，于是可得g（t）∈（0，1），即a∈（1，2）时（1-）＜1恒成立，因此，符合条件的实数a不存在．（14分）