Question

已知数列{a_n}的前n项为和S_n，点在直线上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{c_n}的前n和为T_n，求使不等式对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer

（1）根据点在直线上可得到整理可得到．，再由n≥2时，an=Sn-Sn-1可得到an的表达式，再对n=1时进行验证即可得到数列{an}的通项公式；根据bn+2-2bn+1+bn=0可转化为bn+2-bn+1=bn+1-bn得到{bn}为等差数列，即可求出{bn}的通项公式．
（2）将（1）中的{an}、{bn}的通项公式代入到{cn}中然后进行裂项，可得到前n项和，进而可确定Tn的表达式，然后作差可验证Tn单调递增，求出Tn的最小值，然后令最小值大于求出k即可．
【解析】
（Ⅰ）由题意，得．
故当．
注意到n=1时，a1=S1=6，而当n=1，n+5=6，
所以，an=n+5（n∈N*）．
又bn+2-2bn+1+bn=0，即bn+2-bn+1=bn+1-bn（n∈N*），
所以{bn}为等差数列，于是．
而，
因此，bn=b3+3（n-3）=3n+2，即bn=3n+2（n∈N*）．
（Ⅱ）
=．
所以，
=．
由于，
因此Tn单调递增，故．
令．