Question

已知椭圆（）右顶点到右焦点的距离为，短轴长为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若线段的长为，求直线的方程．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）或．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意列关于a、b、c的方程组，解方程得a、b、c的值，既得椭圆的方程；（Ⅱ）分两种情况讨论：当直线与轴垂直时，，此时不符合题意故舍掉；当直线与轴不垂直时，设直线 的方程为：，代入椭圆方程消去得：，再由韦达定理得，从而可得直线的方程．

试题解析：（Ⅰ）由题意，，解得，即：椭圆方程为         4分                           

（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，此时不符合题意故舍掉；           6分

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，

代入消去得： ．

设 ，则                            8分

所以   ，                                           11分

由，                                   13分

所以直线或．                14分

考点：1、椭圆的方程；2、直线被圆锥曲线所截弦长的求法；3、韦达定理．