Question

已知是的一个极值点.

（Ⅰ） 求的值；

（Ⅱ） 求函数的单调递减区间；

（Ⅲ）设，试问过点可作多少条直线与曲线相切？请说明理由.

Answer

（Ⅰ）3；（Ⅱ）；（Ⅲ）2条.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先对原函数求导，则，即得的值；（Ⅱ）求当时的的取值范围，就得函数的单调减区间；（Ⅲ）易知，设过点（2，5）与曲线相切的切点为，

所以，，令，利用导数求函数的单调区间及极值，可得与轴的交点个数，从而得结论.

试题解析：（I）因为是的一个极值点，所，

经检验，适合题意，所以.                                  3分

（II）定义域为，，

所以函数的单调递减区间为                                               6分

（III），设过点（2，5）与曲线相切的切点为

所以，                9分

令，所在上单调递减，在上单调递增，

因为，所以与x轴有两个交点，

所以过点可作2条直线与曲线相切.                                             12分

考点：1、利用导数求函数的极值和单调性；2、导数与基本函数的综合应用.